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美人投票と株式市場の深い関係 株価変動を支配する「ファットテール」
• 2012年5月1日 火曜日
• 楡井 誠
株式市場は企業価値を反映する鏡である。その鏡は、企業の刻一刻と移り変わる将来性を抜かりなく映し出す。市場参加者という無数の匿名な観察者は、経営者が直視したくないような醜い欠点まで、冷酷にあぶりだしては評価に算入していく。
市場はまた社会プロセスとして例外的なほど機敏で迅速だ。1986年にスペースシャトルチャレンジャー号爆発事故が起きた後、政府調査委員会が事故原因 について、Oリングとよばれる小さな部品であったことを特定するのには数ヶ月を要した。ところが市場においては事故のわずか21分後に、シャトル関連企業 の中で唯一、値がつかない企業としてOリング供給企業が識別されていたのである（注1）。“Market knows”（市場は何でも知っている）などと、冗談半分、本気半分に崇められたりもする所以だ。
その市場が大きく見通しを外すことがある。バブルの発生と崩壊は良い例だが、そこまで巨大な事例でなくとも、個別企業や産業などが、とりたててさしたる ニュースもないのに大きく値を上げたり下げたりする。実際のところ、「外すことがある」どころではない。株価の実際の振幅と理論値の振幅を比較してみれ ば、実際の振幅の方がいつでも大きい。株式市場は、長い目で見れば企業価値の水準をよく捉えるのだが、短期的には過熱したり冷えきったりとブレまくるので ある。
優勝するのは、誰も美人と思っていない人に
株式市場のそんな気まぐれな振る舞いが、美人コンテストに似ている、とジョン・メイナード・ケインズは言う。ただし、普通の美人コンテストではない。ケ インズの美人投票では、賞をもらうのは優勝した美人ではなく、その美人に投票した人である。このゲームでは、優勝した美人が本当の美人であっても良いけれ ど、そうである必要もない。重要なのは、みんなが投票した美人に、自分も投票していることである。
ところが、ほかのみんなも同じように他のみんなと同じ美人に投票したいと思っている。その結果、圧倒的多数を集めて優勝した美人のことを、本当のところ誰も美しいとは思っていなかったといった珍事が、普通に起こることになる。
もしも、みんながそれぞれ正直に自分が美人だと思った人に投票していれば、「多くの人の賛同を得た」という意味で客観的な美人を選ぶことができただろ う。同様に株式市場でも、個々のトレーダーがファンダメンタルズ（経済の基礎的条件）に関わる情報を地道に収集して投資判断をしているならば、株価は客観 的な企業評価となり得る。トレーダーによる自己利益の追求が社会的に有意義な情報を生み出す、これこそ市場の情報集約機能である。ところが、奇妙な美人投 票が示すように、市場の性能には若干の綻びがある。
注1 Maloney and Mulherin (1998), “The Stock Price Reaction to the Challenger Crash,” SSRN 141971.
そしてこの綻びが、市場の「外し方」に法則性を与えている可能性がある。株価振動の分布は裾部分の確率が高い、いわゆる「ファットテール」に従うことが 知られている。図1には、TOPIXの日次変動率（始値と終値の対数の差）の度数分布図が示されている。TOPIX日次変動率の典型的なばらつきの大きさ （標準偏差）は約2％なので、同じ標準偏差を持つ正規分布で度数分布図を合わせてみよう。すると、±5％あたりから急に外れてくることが見て取れる。これ がファットテールである。
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世の中の多くの現象は正規分布に従う。これは、ある現象が、様々な独立した要因にウェイトづけをしたものの総和として起こるとき、その総和が正規分布に 従う性質（中心極限定理）を持つからである。だから、例えば受験偏差値も正規分布に従う。平均は偏差値50に対応し、平均から標準偏差で1外れることは、 偏差値で10増減することに対応する。したがって標準偏差の5倍も外れる現象というのは、偏差値で言えば100以上か0以下という、大概な成績を取るくら い珍しい。しかしTOPIXを見ると、標準偏差の5倍（つまり約10％の株価変動）以上の変動が起こる頻度は0.25%もある。通常ほとんど起こらない珍 事が、株式市場では1年に1日は起こるというのだ。
規則性はどの国の市場にも当てはまる
株価振動のテールの場合、単に正規分布より重いだけでなく、べき則(power law)とよばれる顕著な法則性をもつ。図2では、平均変動率からのぶれを標準偏差で割った値を横軸に、そのぶれ以上の変動が起こる確率を縦軸に表してい る。これによれば、標準偏差の3倍以上の大きさの変動が起こる頻度は1％、標準偏差6以上は0.16%、9以上は0.06%であり、図のように両対数プ ロットを取ると直線で合わせることができる。しかも、傾き3くらいの直線で合わせることができるというこの規則性は、TOPIXのみならずどの国の市場を みても当てはまるようなのだ。
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とすると、株価の変動は、国によらず時代によらず、また変動の大小にもよらず、同じメカニズムから起こっているのかもしれない。日々の上げ下げも100 年に一度のクラッシュも、同じ市場の綻びから生じるのかもしれない。ケインズの美人投票を手がかりに、市場の構造を観察することからこの規則性を説明して みよう。
値が上がったときは、誰かが市場のコンセンサス以上の値段で買っていることを意味する。それをみて他のトレーダーは、コンセンサスに織り込まれていない ポジティブな情報をこの買った誰かが手に入れたに違いない、と推測するだろう。したがって、他のトレーダーはこの値動きを自分の情報に取り込み、買いに傾 く。
しかしトレーダーの推測はそこで終わらない。みんながこの値動きをみて自分の情報を更新したはずなのに、そこで値が止まっているならば、一斉に買いに走 るほどには、他のみんなが持っていたその株に関する事前情報が良くはなかったはずだ。トレーダーはそう推測し、他のみんなが事前にもっていただろう情報に ついての新しい情報、つまり「みんなの事前情報は大して良くなかった」という情報を、自分の情報に取り込む。
他人と違う行動をとることが、社会のリスクを軽減する
この推測の連鎖の帰結として、最初の1人の買いがもたらしたポジティブな情報は、それを見ても静観したままである他のトレーダーによって均される。これ は、個々のトレーダーが平均的トレーダーの行動に追随しようとするケインズの美人投票の状況に他ならない。美人投票の状況、すなわち1人の買いがもたらす 情報のインパクトが平均して1人のトレーダーの追随買いを誘う程度であるとき、最終的に収束するまでに何人のトレーダーが追随するだろうか？この追随買い の大きさが、実はべき則に従うことを示すことができる。（注2）
本来、よく機能する市場では、価格が「みんなの平均的な考え方」を吸い上げてくれるはずだ。しかし美人投票では、みんなが価格に頼りすぎてしまうせい で、かえって誰の考えも吸い上げられない、という逆説が生じる。つまり、「価格がみんなの考え方を映している」という信頼によって、一人一人が持ってい る、小さくはあるが貴重な情報が捨て去られてしまう。市場は確かにみんなの行動の平均を映し、そして多くの場合妥当な価格を形成するのだが、個々人の行動 が実はみんなの行動の平均に依拠しているために、一旦外すと極端に外してしまうという危うさをはらんでいる。テールのべき則は、この「外し方のメカニズ ム」を示唆している。
市場も投票も、大勢の人間が知恵を出し合い合意する必要のある様々な意思決定に、優れた解を与えてくれる社会制度である。しかしその制度が時に、金融危 機や選挙における地滑り的大勝のような、大きな社会変動を引き起こしてしまう可能性を美人投票は示している。そのような過度の変動を未然にふせぐ一つの方 策は、個々人が自分で情報を集め、自分ならではの判断を下し、他人と違う行動を取ることを恐れないように仕向けることだ。なぜなら、個々人がそれぞれの独 立な偏りに従って、てんでばらばらの行動を取るとき、個々のエラーは大きくなっても、社会全体のエラーは格段に小さくなるからである。（注3）
注2） この分布のべき乗数は1.5となる。追随買いするトレーダーの数の分布がいかにして株価変動の分布に変形されるかについて、詳しくは Nirei, “Beauty Contests and Fat Tails in Financial Markets”（「一橋大学ワーキングペーパー」、2011年）を参照してほしい。
http://www.ier.hit-u.ac.jp/ifd/doc/IFD_WP76.pdf
株価のべき則については Gabaix, Gopikrishnan, Plerou and Stanley, “Institutional Investors and Stock Market Volatility” (「Quarterly Journal of Economics」、 2006年) が別の説明をしている。
http://qje.oxfordjournals.org/content/121/2/461.full.pdf
注3）この点、Surowiecki (2005年), “The Wisdom of Crowds,” Anchor （小高尚子訳『「みんなの意見」は案外正しい』角川文庫）が示唆に富む。
http://www.randomhouse.com/features/wisdomofcrowds/
「気鋭の論点」
経済学の最新知識を分かりやすく解説するコラムです。執筆者は、研究の一線で活躍する気鋭の若手経済学者たち。それぞれのテーマの中には一見難しい理論に 見えるものもありますが、私たちの仕事や暮らしを考える上で役立つ身近なテーマもたくさんあります。意外なところに経済学が生かされていることも分かるは ずです。
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楡井 誠（にれい・まこと）
一橋大学イノベーション研究センター准教授。1994年東京大学経済学部卒業。96年、同大学大学院経済学研究科博士前期課程修了。2001年米サンタフェ研究所ポストドクトラル・フェロー（〜2004年）。
2002 年米シカゴ大学経済学博士（Ph.D.）。2004年米ユタ州立大学経済学部助教授、2006年カナダのカールトン大学経済学部助教授、2008年から現 職。研究対象は企業のダイナミクス、投資および景気循環、価格付け行動と物価、金融市場のアノマリー、資産所得分布など。
http://www.squeezedbooks.com/articles/the-wisdom-of-crowds.html
The Wisdom of Crowds
• Written By: Squeezed Contributor
• 2-4-2012
• Categorized in: Innovations, Leadership
Key Points
The thesis of the book, as the author states at the beginning:
under the right circumstances, groups are remarkably intelligent, and are often smarter than the smartest people in them. Groups do not need to be dominated by exceptionally intelligent people in order to be smart.
Summary
Part I
Chapter 1
The book begins with a series of examples of “crowd wisdom”, ranging from the TV show “Who Wants to be a Millionaire?” and its “ask the audience”, to the stock market indicating the company most likely to be at fault hours after the Challenger disaster. These cases all demonstrate the four conditions that comprise wise crowds - independence, diversity of opinion, decentralization, and a way to aggregate the results. Similar results are to be found in sports betting, and in Google’s results, determined by examining the number of links pointing to any given page. One way to take advantage of this wisdom of crowds is through the use of ”prediction markets”, such as the Iowa Electronic Markets, where people buy and sell probabilities as if they were stocks. In the right circumstances, prediction markets are an excellent way of turning the knowledge of many people into reasonably accurate predictions.
Chapter 2
The importance of diversity is covered in the second chapter. A crowd can’t be wise if everyone always picks the same answer as everyone else. Examples include product markets, where there is usually an initial wide range of different attempts in a new market, which is quickly winnowed down to the successful designs; and honey bees, which send out scouts in all directions, but only return to those areas where flowers have been found. Diversity is important to “wise crowds”, because it expands the range of possible solutions proposed. In large groups, diversity comes naturally, but in smaller groups, it’s necessary to support and actively encourage it, to avoid the dangers of “groupthink”. When people give in to their conformist tendencies, and are afraid to stick their necks out, the quality of decisions suffers.
Chapter 3
Independence of action and thought is important for the wisdom of crowds. If everyone thinks alike, then they’re less likely to arrive at a good answer to a given problem, because they’re less likely to fall into “groupthink”. “The more influence we exert on each other, the more likely it is that we will believe the same things and make the same mistakes”.
American Football coaching is cited an example of the “herd mentality”, based on the work of David Romer examining the “best 4th down strategy” (pdf). It turns out that statistically, most teams would be better off trying to make the touchdown or 1st down, rather than going for the field goal, in many cases. However, since the accepted wisdom is to kick, going against the grain of the relatively small pool of decision makers (professional football coaches) would not be an easy choice to make consistently, especially for the risk averse.
Herding behavior often occurs because people seek safety in numbers, but it can lead to problematic results when independence is required. “Information cascades” are what occurs when an initial decision is made by a few people, and then more or less accepted uncritically by more and more people. This isn’t necessarily a recipe for disaster, as we can’t all evaluate everything in our lives, but must trust others to come to good conclusions. However, at times, it can be disastrous when the original information and decisions were wrong, but continue to be accepted by an ever-wider circle. Luckily, for most people, the more important a decision is, the more likely they are to examine the facts themselves, rather than simply fall in line. Information cascades actually work reasonably well much of the time, but the basic problem is that they are a sequential, rather than parallel process. If you’re trying to harness the wisdom of crowds, you must attempt to have all decisions made at the same time, rather than one at a time.
Chapter 4
This chapter covers decentralization - where it works, where it doesn’t and what can go wrong. Decentralized, aggregate behavior is a key aspect of things like free market economies, flocks of birds, and is something that has been touted as a virtuous way of running a company as of late, with small, self-organizing teams. Decentralization allows people, or more generally, components of a system, to act freely and independently of one another, and still interact to produce coordinated results.
Linux is cited as an example of a decentralized system with a central aggregator - Linus Torvalds. As most people know by this point, Linux is worked on collaboratively by many programmers throughout the world, but often, different people come up with competing solutions to the same problem. This is good at finding and testing diverse approaches to see, in practice rather than in theory, which one actually works the best. Ultimately, however, the ‘best’ solutions are not selected by popular vote, but by Linus, who is responsible for taking the results of the decentralized development process, and aggregating them into something useful by selecting the ‘best’ bits and pieces.
Also discussed is the decentralization of the intelligence community, and the negatives involved in the difficulty of sharing information, cited as one factor in the failure of the intelligence community to predict and prevent the 9/11 attacks. The problem, however, was not decentralization, but decentralization with no way to aggregate the results into something useful.
One such way of aggregating information was a proposed futures market based on potential events in the Middle East, and elsewhere, which was, however, not allowed to get off the ground due to squeamishness about the idea of buying and selling bets about, say, a leader’s chance of being assassinated in any particular year. This market could have been a useful tool, perhaps not in predicting precise events, but in collecting information about the general state of things in places where information is at times difficult to gather, and unfettered freedom of expression suppressed.
Chapter 5
This chapter covers what are known as “coordination problems”, which are defined as problems that don’t necessarily have an objectively “correct” answer, but which are framed in terms of coordinating actions with everyone else’s actions. For instance, driving on a freeway requires that you coordinate your speed and actions with those of other drivers, and possibly even the time of day when you drive in order to avoid getting stuck in traffic. Groups are not guaranteed to come up with optimal solutions, but often do.
One solution to coordination problems is central planning - having one omniscient authority that makes some calculations and tells everyone how to act as a consequence. This is, however, often not possible, feasible, or desirable.
Coordination problems are often quite difficult to solve, with one example being a bar, where, if it’s more than 60% full, no one enjoys themselves, but do if it’s under that capacity. Several computer models have been built with agents that follow simple strategies and do manage to coordinate well enough to keep the bar at around 60%.
In some cases, cultural references help us solve coordination problems, both by giving us reference points (ask two people to meet at a given time without communicating the time to one another, and they’ll likely pick 12 noon), or norms, such as “drive on the right”. Conventions also lower the amount of thinking you have to do about certain situations - it’s easier just to follow the rules or guidelines rather than make a conscious decision after weighing all the possibilities. This often frees us to think about more important things.
Corporations are supposed to operate in order to maximize profits, and should be immune to things like social conventions - yet it turns out that they’re not nearly as rational as might be imagined. One example cited is movie theaters, which charge the same price for the latest hit, as for flops that are on their way out. Charge too much for hits, and you risk losing out on concessions, where movie theaters actually make a lot of their money, but by that logic, lowering the price for less popular movies would get more people into the theater.
Markets can also be effective coordination mechanisms. Experiments conducted with students, who know only the maximum price they will pay, or minimum they will sell for, show prices rapidly converging on an optimal price, even though that price is higher than buyers would like, and lower than what sellers would prefer. Real markets often lack lots of information, and indeed the students found the experiment “chaotic and confusing” - and yet, the market worked. Markets aren’t perfect, of course, but they are often the best, if not perfect, way of coordinating disparate buyers and sellers.
Chapter 6
Cooperation problems are superficially similar to coordination problems, but with a key difference: coordination problems can be solved with all players acting in their own interests, whereas cooperation problems require players to “look at the bigger picture”, as part of an organization or society.
Behavioral studies have demonstrated that people will forego a reward in a simple game in order punish someone perceived to be playing unfairly, even when doing so does not benefit them at all. In other words, people, being social animals have a sense of ‘fairness’, even if this isn’t rational in economic terms. This extends to a sense that rewards should be correlated to efforts and accomplishments, and this sense is part of the reason why large organizations can exist in the first place.
Trust is often secondary to long term relationships in terms of promoting ‘fair’ behavior: if you know you’ll see someone again and again, you’re less likely to attempt to cheat them.
Capitalism works in part because it’s possible to trust those beyond an established circle of friends and family, and only works where there are institutions that promote this trust. When you are reasonably certain that you can buy a product and that it will work as advertised, you don’t need to inspect in detail each and every thing that you purchase. This makes the flow of goods and services, and increases the general welfare of a society.
Chapter 7
This chapter discusses the idea of ‘coordination problems’, using traffic as an example, beginning with a discussion of London’s “congestion pricing”. Because traffic was so bad, a market-based solution was found that pushed people to evaluate their access of downtown London via a car: during the day, it costs a certain amount of money to drive into central London. This accomplishes two things: rather than dictating to drivers what they can and cannot do, it leaves everyone free to do as they so choose, but puts a direct cost on accessing the downtown area during certain hours. People who really do need to go there at that time will pay the money, but find the roads less crowded. Other people, without such strong necessities, will take the time to walk, cycle or use public transportation. London is hardly alone in using such a system; Singapore has used congestion charges since the 1970ies, although clearly implementing that kind of unpopular policy is easy in an authoritarian country.
The discussion continues, touching on the subject of traffic flow, and the ideal conditions that produce, a smooth, steady flow, rather than traffic jams, or erratic start and stop conditions. Surprisingly, having just the right amount of cars on the freeway is important: two many creates obvious problems, but two few causes problems as well; with two few cars, people tend to speed up and slow down more erratically than with a steady stream of traffic.
Links
The book’s web site: http://www.randomhouse.com/features/wisdomofcrowds/
Wikipedia page on the book: http://en.wikipedia.org/wiki/The_Wisdom_of_Crowds
Recommended Resources
For a more in-depth, comprehensive summary of The Wisdom of Crowds, check out GetAbstract.com
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