アリスは，広い公園内の池で手漕ぎのボ−トに乗って遊んでいた。同乗しているのは，トカゲのビルと公爵夫人の料理番である。料理番が濃いサングラスとマスクといういかにも怪しげななりをしているのでアリスが理由を尋ねると，「公爵夫人ってさ，結構人使いが荒いのは知ってるわよね。ま，あたしも好き勝手にやってるから，お互いさまかもしれないけど……」と料理番。「今日はまったくやる気が出ないんで，身内が病気だと嘘をついて休みにしてもらったのよ。ところが，今日は夫人もこの辺に用事があったはずだって思い出してね。ここで遊んでいるところに出っくわして，嘘がばれると気まずいじゃない。あら……てなこと言ってたら案の定よね。現れちゃったわ」とアリスの後方を目で示す。

　アリスが振り返ってチラッと見ると，公爵夫人が岸に立ってこちらを眺めている。しかも，どうやらアリスたちに気がついたらしく，不審な同乗者が誰なのかいぶかしんでいるようだ。アリスは夫人には気づかなかった振りをして視線を戻した。

　「まずいわね。あの感じでは，まだばれてはいないようだけど，岸に着いた時に必ず声をかけてきて，あたしが誰か聞くわよ」と料理番。アリスは，料理番の嘘に加担する必要はないのだが，ここは同舟のよしみということで，提案した。「じゃあ，これから全速力でボ−トを漕いで，夫人とは反対の岸にボ−トを着けるのはどうかしら。あなたは夫人よりは足が速いでしょうから，あとは何とか逃げられるでしょう。夫人に何か聞かれてもあたしたちがうまく答えとくわ」。料理番はオ−ルを握っているビルをチラッと見て，不安そうな顔をしていたが，とりあえずその作戦でいこうと決め，ビルに対岸に向けて漕いでもらうことにした。

　ところが，公爵夫人も見知らぬ人物が誰か確かめようと決心したらしく，短い足をちょこまかと動かして，自分にできる限りの速力でボ−トの向かっている対岸へ歩き出した。先に着岸地点に行って待ち受けようというつもりらしい。

　池は，完全な円形であり，どこにでも着岸できる。また，ボ−トは池の中心にいて，いくら足の遅い公爵夫人でも，ビルが漕ぐボ−トよりは4倍速く歩けるとする。ここで読者に考えてほしいのは，夫人が着く前にボ−トを着岸させ料理番を逃がすための戦略である。もし，公爵夫人の足がボ−トより4.5倍速かったらどうだろうか？　また，余裕のある読者は，最善の戦略をとったとき，この比が何倍までだったら料理番が夫人を出し抜けるかを考えていただきたい。普通は慣性の法則が働き，ボ−トを漕ぐときはもちろん，走る場合でも急な発進・停止・方向転換はできないのだが，簡単のためそれは自由にできるものと考えてもらってよい。

コメント
01. 手紙 2015年3月30日 17:24:26 : ycTIENrc3gkSo : UWlanYXlYQ ---ひきつけながら逃げる作戦--- 1.池の中心から公爵のいる地点と真逆の方向へボートを漕ぎ、公爵をひきつける 2.公爵が円周の4分の1まで移動した 3.ここでもう一度、公爵のいる地点と真逆の方向へボートを漕ぐ 4.着岸→ほなさいなら ぎりぎりかな？
02. ダイナモ 2015年3月30日 17:43:31 : mY9T/8MdR98ug : SFB6e5PgNo 数式で証明しなきゃダメ。もっとも今回の問題は中学生レベルの数学が分かれば解ける問題だからかなり易しい。
03. 手紙 2015年3月30日 20:41:50 : ycTIENrc3gkSo : wWTtX2dP9E 料理番、アリス、とかげ。 みんなで公爵に詫びを入れよう。 それしかない。
04. ダイナモ 2015年4月03日 14:29:20 : mY9T/8MdR98ug : VRXLGQstBQ 回答を書いておこう。たぶんあっていると思う。外していたら失礼。 途中の式の説明は、どうしてこういう式になるのかを説明するのが面倒なので後回しとする。 侯爵夫人がボートより４倍速く歩ける場合、料理番は逃げることができる。 侯爵夫人がボートより４.５倍速く歩ける場合、料理番は逃げることができない。 最善の戦略をとったとき、侯爵夫人の歩く速さがボートより π＋１ 倍未満の速さであれば料理番は逃げることができる。
05. 2015年4月03日 16:39:19 : 6RvWO7E8Us 池の半径をｒとして、池の中心からｒ/4のところをぐるぐる回っていれば、侯爵夫人との距離は縮まりもしないし離されもしない。 だから、その少し内側の円を侯爵夫人から逃げるように漕ぎ出す。（内側と言ってもｒ−（πｒ/4）以内だとダメ） それで、侯爵夫人との距離が最大になった時（夫人と池の中心とボートが直線に並んだ時）、岸に向かって一直線に漕ぎ出す。 ってことかな？ （ピ）
06. ダイナモ 2015年4月03日 17:01:48 : mY9T/8MdR98ug : VRXLGQstBQ >>05 侯爵夫人がボートより４倍速く歩ける場合、その通りです。
07. 手紙 2015年4月03日 21:02:27 : ycTIENrc3gkSo : WVjrjGW7bA >>05 ピノキさん これでよ〜やく、とかげは開放されました。 ありがとうございます。
08. 2015年4月14日 03:16:49 : jXbiWWJBCA 半径１　船速度１　としても変わらない >>05　の戦略は　侯爵夫人がボートよりπ＋１ 倍未満の速さであれば正しく T船=1-1/V＝π/V＝T公爵　　よりV=π＋１ >>06 侯爵夫人がボートより４倍速く歩ける場合、その通り だから、これは間違い また　公爵夫人の速度Vが、　π＋１　より速い場合でも　 その進行と同じ方向に　角度成分をプラスにし 仮に動径成分の速度の割合υを一定にすると　 T船=(1-1/V)/υ＝π/V+lnV/V(sqrt(1-υ^2)/υ)＝T公爵 となり >>05　の戦略より動径成分を0.9程度まで減らしてやると4.4倍まで追いつかれない ただし4.5倍では追いつかれるはず
09. 2015年4月16日 15:56:29 : e9xeV93vFQ >>08　4.5倍では追いつかれるはず 補足しておくと、上の戦略だと4.48倍程度まで追いつかれない また船の位置(r,θ）の角速度を一定ｋにする戦略でも厳密解はでるが 単純な動径速度一定に劣る θ（1）=k(1-1/V) T=∫dt=∫dr*sqrt(1+r^2*(dθ/dr)^2)　r=1/v〜1 T=([sqrt(1+ｋ^2)+ln{[k+sqrt(1+ｋ^2)]}/k]-[(1/V)*sqrt(ｋ^2/V^2+1)+ln｛[k/V+sqrt(ｋ^2/V^2+1)]｝/k])/2 一般には、適当な汎関数を選び、Euller方程式を解けば、サイクロイド曲線と同様に、軌跡θ(r)と岸への到達時間T＝を決定できるはず ただサイクロイドと違って、汎関数として何を選ぶかは簡単ではないみたいだな T=∫dt=∫dr*sqrt(1+r^2*(dθ/dr)^2)　r=1/v〜1 φ＝πーVT+θ（T)＞０ と連立してTを最適化するのが一案だが、 エレガントな解が出なかったのは残念
10. ダイナモ 2015年4月16日 19:17:19 : mY9T/8MdR98ug : Kr2S1L17Og 日経サイエンスに回答が掲載された。 k＝約4.60334倍までは料理番が公爵夫人を出し抜ける。 「戦略分岐点で向かう方向を公爵夫人のそのときの位置の対岸とする上の戦略は最善ではなく，一番よいのは，自分と公爵夫人とを結ぶ線分に直交する方向に向かうことなのだ」 そうですね。実は私の回答が最善ではないことに気がついていました。公爵夫人の位置と円の中心から正反対の方向に進むのではなく、公爵夫人の進む方向と逆方向に斜めに進むことが最善であることはわかっていましたが、公爵夫人がさらに向きを変えた場合の問題が解けませんでした。 「自分と公爵夫人とを結ぶ線分に直交する方向に向かう」ところがキモですね。 いやー、完敗です。日経サイエンスの問題はどれもレベルが高い。 答えはこちら http://www.nikkei-science.com/page/magazine/alice/201505/answer.html

11. 2015年4月16日 22:12:08 : jXbiWWJBCA >池の中心周りの角速度で考えたほうがよく，それは sinθである。つまり，公爵夫人は角速度1− sinθで近づいてくる。結局，ボートは cosθのペースで岸に近づき，夫人は1− sinθのペースで迫ってくるので，比（1− sinθ）/ cosθを最小にするθを求めればよい なるほど ややヒューリスティックな答えだが 高校レベルで答えが得られるというのは、なかなか良いね

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