結局、M7以上の地震に対して周期性を仮定しても、バラつきは数十年にわたる

だから現在の予測モデルでは、30年以内に、確率XXX％　などという言い方しかできないし
その規模も予測できない

なぜなら、こうした破壊現象は、カオス力学に従うとして近似できるからだ

http://ci.nii.ac.jp/naid/110006477055
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「カ オ ス とその 周辺 」
地 震 現 象 の フ ラ ク タ ル 性 と 機 械 モ デ ル
Fractal features of earthquake phenomenon
and its simple mechanical model ．
松崎 光弘 （神戸大 ・ 自然科学 ）
高 安 秀 樹 （神戸 大 ・ 理 ）
Abstract
地震 現 象 を よ く記述 す る 単純 な 2 次 元 機 械 モ デ ル を導 入 す る 。 こ の モ デ ル は 力学 的
な 相 転 移 を 起 こ し 、 臨界 点 に お い て 地 震 現 象 に 見 ら れ る種 々 の フ ラ ク タ ル 性 を 説 明 す
る。
ま た 、 こ の モ デ ル は 相 転 移 点 か ら ず れ た と き の 挙 動 と して 、 現 実 の 地 震 現 象 に 見 ら
れ る よ う な Gutenberg −Richter則 か ら ず れ た マ グ ニ チ ュ ー ド分 布 な ど も説 明す る。
Introduction
地 震 現 象 に は 大 き く分 け て 以 下 の 3 つ の フ ラ ク タ ル 性 が 見 ら れ る 。
（1 ） マ グ ニ チ ュ ー ド分布 （ Gutenberg−Richter則 ）
マ グ ニ テ ユ ー ドM 以 上 の 地 震 の 発 生 頻 度 N で≧ M ）は
10gN ぐ挙M ）＝ a
− bM b ≠ 1
と い う 式で あ らわ さ れ る 。
（2 ） 震 源 の 空 間 分 布 が お よ そ 1 ． 5 次 元 の フ ラ ク タ ル とな る 。
（3 ） 地 震 発 生 時 刻 の 2 点 相 関 が べ き 分 布 と な る。
本論 文 で は 単 純 な 素 過 程 か ら な る 2 次 元 モ デ ル を解 柝 す る こ と に よ っ て 、 地 震 現 象
の もつ 自 己 相似 性 の 解明 を 試 み る 。
地 震 現 象 の モ デ ル 化 に 関 し て は 大 き く分 け て 2 つ の 流 れ が あ る と い え る 。 1 つ は 1
回 の 地 震 を 2 次 元 格子 上 の パ ー コ レ ー シ ョ ン と し て 扱 う も の で 、 大 塚 （1972） 等 が あ
る 。 こ の モ デ ル は 相 転 移 を 起 こ し、 相 転 移 点 で は 、 ク ラ ス タ ーの サ イ ズ 分 布 が べ き分
布 に な る こ と が 知 られ て い る。
2 つ め の 流 れ は 地 震現 象 を 動 的 な モ デ ル で 取 り扱 う もの で あ る 。 こ れ は 、 Knopoff
（1965） に 始 ま り高 安 ・ 松 崎 （1988 ） 、 伊 東 。 松 崎 （1990 ） を経 て 現 在 に至 る も の で
あ る。 こ れ ら の モ デ ル の 基 本 は Knopoff （1965） に み ら れ るStick− slip モ デ ル で あ り、
地 震 現 象 を 断 層 な い し は プ レ ー ト運 動 に よ っ て 蓄 積 され た歪 み エ ネル ギー の 解 放 過 程
と して 扱 っ て い る。 また 近 年 は 、 Bak らの い うSelf organized criticali 七yが 地 震 現
象 に も応 用 で き る こ と が い わ れ て い る。 こ の こ と は 、 伊東 ・ 松崎 （1990） や 中 西 （19
90） 、 Carlson and Langer （1989） な ど に 反 映 さ れ て い る。
本 論 文 で は 地 震 現 象 を コ ン ト ロ ール バ ラ メ ー タ ー を もつ 相 転 移現 象 と して と ら え 、
臨 界 点 上 の 現象 と し て 実 際 の 地 震 現 象 に 見 ら れ る 自己 相似性 を 説 明す る と と も に 、 べ
き に の ら な い よ うな 地震 の マ グ ニ チ ュ ー ド分布 な ど を、 相 転 移 点 か ら離 れ た状 態 と し
て 説 明 す る。
一 135 一
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研 究会報告
Stick−slip model
Fig．1 に こ の モ デ ル の 舞念 図 を 示 す 。
こ こ で は 、 海 洋 プ レ ー ト を ベ ル ト コ ン ベ ア ー に
大陸 プ レ ー トの 最 下 部 を 、 2 次元 格 子上 に 配 列
し 、 互 い に ば ね で 連 結 さ れ た 箱 （振動子） と し
て 扱 う 。 ま た 、 各 振 動 子 は 大 陸 プ レ ー ト上 部 と
各々 1 本 の ば ね で 連 結 し て い る もの と す る 。
こ の 図leお い て 、 海 洋 プ レ ー ト が大 陸 プ レ ー ト
の 下 に 沈 み こ も う と す る と、 プ レ ー ト 間 の 摩 擦
に よ っ て 大 陸 プ レ ー F 側 の 振 動 子 が 引 き ず りこ
ま れ 、歪 み エ ネ ル ギ ーが 蓄 積 さ れ る。 各 振 動 子
に か か る歪 み エ ネ ル ギ ー が 海 洋 プ レ ー ト と の 静
摩 擦 の 限 界 を 越 え る と そ の 振 動 子 は 元 の 地 点 ま
で 滑 り、 目分 の も っ て い た 歪 み エ ネ ル ギ ーを 最
近 接 の 4 つ の 振 動 子 le、 お 互 い を つ な ぐば ね の
強 さ に 応 じ て 分配 す る 。 そ の 結果 隣の 振動 子 に
か か る歪 み エ ネ ル ギ ーが 静 摩 擦 の 限 界 を 越 え た
な ら ば そ の 振 動 子 も滑 りを 起 こ し破 壊 が伝 播 す
る。 こ こ で 、 最初 に 滑 りを 起 こ した 振勳子 の 位
置 が 地 震 の 震 源 に 、 滑 りを 起 こ した 振動 子 の 滑
っ た 距 離 の 和 が 地 震 の モ ー メ ン ト に あ t る 。 ま
tc、 滑 り を 起 こ し た 振 動 子 が 作 る ク ラ ス タ ー の
サ イ ズ は 地 震 の 断 層 面 積 に 対応 す る。
Fig．1
Ooo 卸 」¢ P 拘 書o
慧 鑼 雛 騰籥鑼 i蹴 羅
pl ら tら
こ の シ ス テ ム の ル ー ル は 以 下 の よ う な 式で 与 え ら れ る 。 （ル ール 1 ）
d
f
『（i ， j＞＝ V
dt
If f
−（i ， j）≧ fc（i ， 」＞
Then f
＋ 〈i ， j）＝ O
k
f
＋ 〈i± 1 ， 」± 1）ニ f
−
（i± 1， j± 1）＋ − fc（i ， 」）
4k＋ 9
f（i ，j）：the sum of spring forces of （i ， 」）th oscill 毎tor
supersprict −
and ＋ denotes ”
before”
and ”
after ”
event
fc（i ， j＞；the threshold frictional force of （i ，j）th oscillator
9 ， k：spring constants of leaf spring and coil spring
こ こ で 、簡単 の た め に シ ス テ ム 中の ば ね の 強 さ を 一定 で あ る と し、 式 を 振 動 子 と ベ
ル ト コ ン ベ ア ー の 間 の 静 摩 擦 の 限 界 （し き い 値 ） で ノ ー マ ラ イ ズ す る と 、 ル ー ル は 以
下 の よ う に な る 。 （ル ー ル 2 ）
一 136 一
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「カ オ ス とそ の 周 辺」
d
− F
−
（i ， j＞ニ v （i ，j）
dt
If F
−
（i ， j＞≧三1
Then F
＋ （i ， j＞＝ O
F
＋ （i± 1 ，j± 1）＝ F （i± 1， j± 1＞＋ d
F（ユ，j）＝ f〈重， j＞1fc（i ， 」〉 ， v 〈i ， 」〉＝ V／fc（i， 」）
d ＝ k19 ＋ 4k
さ ら に 、 最 近 接 振 勳 子 の う ち ど れ か が 同 じ イ ベ ン ト で 2 回以 上 滑 り を 起 こ さ な い と
い う 条件 を 加 え る と、 結 局 こ の モ デ ル の ル ー ル は 一
d
F
−
（i ， j＞＝ Ψ（i ，j）
dt
If F
『〈i ， j＞≧ l
Then F
＋ （i ， j＞＝ O
F
＋ （i± 1 ， 」± 1）； F
−
（i± 1， j± 1＞＋ N ・ d
N＝ 4／number of not −
sliPPed neighboring oscillators
と表 さ れ る 。 （ル ール 3 ）
本研究 で は こ の モ デ ル （ル ー ル 3 ） に つ い て 数値 計算実 験 を行 な v丶 そ の 結 果 を フ
ラ ク タ ル の 観 点 か ら実 際 の 地 震 現象 と 照 ら し 合 わ せ て み た 。
Results
数値実 験 か ら得 ら れ た 結果 を 以 下 に ま と め る。
（1 ） こ の モ デ ル は コ ン ト ロ ー ル パ ラ メ ー タ
ー d の 値 に よ っ て 力 学 的 な相 転 移 を起
こ し、 相 転移 点 の d の 値 （d ＝ 023 ）
は シ ス テ ム の も つ エ ネ ル ギ ー の 大 部 分
が 保 存 さ れ る こ とを示 す 。 シ ス テ ム が
コ ン ト ロ ール パ ラ メ ー タ ーを もつ と い
う 点 は 、 Bakら の い う Self Organized
Criticality との 大 き な 違 い の 一 っ で
あ る 。
（2 ） d の 値 に よ る ク ラ ス タ ーの サ イ ズ 分 布
の 変化 を Fig 。2 に 示 す 。
d が 相 転 移 点 よ り大 き い と き に は 周 期
的 に 大 き な ク ラ ス タ ーが 発生 し 、 d が
相 転 移 点 よ り小 さ い と き に は 小 さ な ク
ラ ス タ ー ば か りが 発 生 して 大 き な ク ラ
ス タ ー の 数 は 指 数 的 に 減 少 す る 。
こ こ で 、 ク ラ ス ダ ー サ イ ズ は 地 震 の 断
2
西
2
〔
oっ
゜刈
〕
匹
一
2
Fig．2
Clus 七er ・ Size S
Curnuleti▼ 曝 di●奮ゴbu 憾on50f the du8t●【 Stzao｛ou 署 mod ．
ifi6dmodd る奪 塾hreetypica直 d valu 囃 io lo5−lo‘ 酬 ：己濫e ： △，4 ＝
0．24 ＞ dc；電， 己＝ 0．23Nd ‘；］， 己＝ 0．22 く d‘
一 137 一
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研 究 会 報告
層 面 積 に 相 当 し、 断 層 面 積 の 対 数 は マ グ ニ チ ュ ー ド の 対数 と 比 例 す る の で 、 こ
れ ら の 分 布 は 、 現 実 の 地 震 現 象 に お い て マ グ ニ チ ュ ー ド と頻 度 の 関 係 が べ き分
布 か らず れ る よ う な 事柄 IC対応 す る 。
（3 ） 相転 移 点 上 で は 1 回の イ ベ ン トで 系全体 が 失 っ た エ ネ ル ギ ー の 総 和 、 す な わ ち
モ ー メ ン ト の 分 布 が べ き分 布 と な る 。 こ こ で 、 モ ー メ ン ト の 対数 が 地 震 の マ グ
ニ チ ュ ー ドの 相当す る こ とか ら、 こ の 分 布 は 地 震 の マ グ ニ チ ュ ー ド と頻 度 の 関
係 を 表 す もの とい え る。
モ ー一メ ン トと マ グ ニ チ ュ ー ドの 関 係 は
2
M ニ ー 10gm
3
の よ うle表 さ れ るか ら、 こ の モ ー メ ン ト の 分 布 に おけ る指 数 0．67は b ＝ 1 と し
た 場合 の Gutenberg− Richter則 を 満 足 す る 。
ま た 、 同 時 に 、 相転 移点 で は ク ラ ス タ ー の サ イ ズ 分 布 も べ き分 布 と な り そ の 指
数 1．Olは パ ー コ レ ーシ ョ ン 問 題 で 得 られ る 指 数 と も近 く、 現 実 の 地 震 の 断 層 面
積 の 頻 度 分 布 と も非 常 に よ く あ う。 （Fig．3 ）
Fig．8
（a） （b＞
2
函
2
〔
Gっ
ぺ〕
匹
ろ
∠
ClUs 七er Size S
2
謁
羣 2
湘
〕
巳
1 ろ
∠
momen 七 m
巳
Cumul ＆tiVGdistributie 囗」 （邑）of 奮bo du 昌ier 冨；zc 盈 od （b ）o｛
th■ mo 【ロ 魯 of our moclified modd inlo8・10‘ scUe 一 “ he ¢ titieaユ
stetc ．Tbo 聊 on 嘘nt o 正the Clustersize dist【ibutio隅 i5め ou 亀 1，01，
己塾d 亀he e；ponent o 正the ロめ mo ロt di‘ 雪【ibutioロ 』 邑 beut o．67．
（4 ） 相 転 移 点 上 で 震 源 の 2 点相 関 を と る と べ き分 布 に な り、 そ の 指 数 が 実 暸 の 地震
の 震 源 分 布 と ほ ぼ 一致 す る 。Fig．4 に 、 震 源 間 の 距離 が r よ り 小 さ く な る 確 率
P （r ） と r の 関係 を 両対 数 グ ラ フ 上 に プ ロ ッ ト し た も の を 示 す 。 （a ）モ デ ル
で の 分布 と （b）現実 の 地震 で の 分 布 が比 較 的 近 い こ とが 分 か る 。
一 138 一
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Fig ．4
2
5 『
τ ∠
ざ
に
呷弓
∠
（a ）
ロユ8t 己 n ζ o b鳴 t胃 o 醜 n fo ‘ ua 瞬8 r
2
ろ
∠
〔
廴
刈〕
氏
δ
∠
（b＞
018 加 n ζ ob 嘆 t鸞 朋 nfo じ u 聰 8r
SPtLt三a』 distr三butionof tho fecuse● （轟｝oI our ロ odified
mOdel ＆ nd （b）o 正re 』 earthgua 】【e6 ．
（5 ） 地 震 の 発 生 時 刻 の 相 関 関数 を
C （t
’） ＝ 〈 c （t ） c （t 十 t
’） 〉
と 定 義 す る 。 こ こ で 、 c （t ） は 時 刻 t に 地 震 が 発 生 す る 確 率 で あ り、 〈 一 〉
は 平均 を 表 す 。
こ の 相 関 関 数 の 分 布 を Fig．5 に 示 す 。
こ こ で も 〈a ＞モ デ ル と （b）現 実 の 地 震 の デ ー タ が 非 常 に よ くあ う こ と が 分 か る。
Fig。5
（a） （b）
日
2
デ
ブ
〈
〔
＋
ど
U
〔
ど
UV
〈
〔
』
＋
ど
U〔
ど
UV
ゼ ゼ
Tbc te皿 P
。 ral c 。：d 轟 奮三。 臓 fun“ b 皿 β ω 。 f ・ ur m 。 di佩已d
modtl and （b）o｛ reil earthqualces inIOS■IOSsc る ！e
以 上 の 結 果 よ り、 2 次 元 の Stick−slip モ デ ル は 相 転 移 点上 の 現 象 と して 、 グ ロ ー バ
ル に 見 ら れ る地 震 現 象 の フ ラ ク タ ル 性 を 説 明 す る と 同 時 に 、 コ ン ト ロ ー ル パ ラ メ ー タ ー
を もた な い Self Organized Cri七icality に 基 く モ デ ル で は説 明で き な レ丶 べ き分 布 か
ら は ず れ た ロ ー カ ル な 地震 の エ ネ ル ギ ー分布 を も よ く説 明で き る と い え る。
一 139 一
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- 140 -
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[３２削除理由]：削除人：書き方がヘン