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無限集合にも濃度(大小)の違いがあり、その中間の濃度が存在しないという不思議
http://www.asyura2.com/09/nature4/msg/813.html
投稿者 短足鰐 日時 2012 年 8 月 31 日 19:50:33: 1dEIvwQCPSw5M
 

(回答先: 超越数は無数あることが証明されているが、人類が具体的に把握しているのは「π」や「e」などごくわずかの不思議 投稿者 短足鰐 日時 2012 年 8 月 30 日 21:47:49)

≪超限数の定義≫
 超限数とは、無限の基数または順序数のことである(整数など)。最小の超限数は、「アルフゼロ(α0)」と呼ばれる。
 実は、整数も有理数(分数で表現可)も、無理数も無限に存在するが、ある意味では、無理数の無限の方が有理数や整数の無限より大きいのだ。同様に、実数(有理数と無理数)の方が整数より数が多い。
 その違いを示すため、数学者は、有理数または整数の無限数を「アルフゼロ」と表記し、無理数または実数の無限数を「C」と表記する。
 Cとアルフゼロの間には、C=2の(α0)乗という単純な関係がある。Cは実数の集合つまり連続体の濃度(個数)でもある(実数は連続体と呼ばれることもある)。
 面白いのは、有理数の数が整数の数と同じであることと、無理数の数が実数の数と同じであることだ。数学者は、ふつう無限の「個数」を言うときに「濃度」という用語を使う。
(以上は、カントールが対角線論法という背理法で証明した。証明した本人も結果にびっくりして、しばらくは公表しなかったという話もある)。

≪連続体仮説≫
連続体仮説はアルフゼロとCの間の大きさを持つ集合は存在しないと述べている。つまり、この仮説が言っているのは、整数の集合の大きさと実数の集合の大きさの中間の大きさを持つ集合は存在しないということだ。
【出典】「数学のおもちゃ箱」クリフォード・A・ピックオーバー/日経BP社‘11年

 カントールの対角線論法
 http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch01/taikaku/node4.html
 

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コメント
 
01. 2012年9月02日 00:07:16 : YLMBkAcn5C
≪連続体仮説≫
仮説ですから

02. 2012年9月03日 12:27:52 : 1laTubqZew

選択公理も面白いですよ。


03. 2012年9月03日 17:51:10 : lqOPOFnyLE
なにをいいたいか、わからん。
連続体仮説は、それだけでは証明できないことが証明されている。
したがって、どのような条件(公理を追加)で、整数の濃度と実数の濃度の間に整然とした濃度列を作れるかということで、それについては知らないので、ご教示いただきたい。

04. 2012年9月03日 19:38:07 : ynSQvzTlvk

>どのような条件(公理を追加)で、整数の濃度と実数の濃度の間に整然とした濃度列を作れるかということで

そういう事ではなくて、濃度が最小の無限集合を用いて、無限集合の系列を作れるという話だと思いますよ。

自然数、実数、関数、演算子、…

って感じでしょうか。


05. 2012年9月03日 22:42:45 : lqOPOFnyLE
>04
濃度が最小の無限集合を用いて、無限集合の系列を作れる。

作れはしますが、それが正しい順序の系列かどうか というのが、連続体仮説なのですから、今言っているのは、その問題ではない。

つまり、アレフ0とアレフの間に、中間濃度があると決めてもよいし、ないと決めてもよいわけ。それは定義づけ次第。したがって、問題は、別の方法で、どちらかに決めることができないか ということです。


06. 2012年9月03日 23:40:59 : ynSQvzTlvk

>したがって、問題は、別の方法で、どちらかに決めることができないか ということです。

カントルの連続体仮説は、現在の集合論の公理系からは肯定も否定もできないので、今のところ、そのような方法はないのだろうと思います。(素人考えですが)


07. 2012年9月04日 00:19:54 : 1laTubqZew

>どのような条件(公理を追加)で

でという事でした。見落としておりました。

(選択公理は別として)ツェルメロ・フレンケル集合論へ(構成可能性公理とは異なった)どんなもっともらしい公理を付加したならば、拡大系で連続体仮説あるいは一般連続体仮説を証明できるかという問題は未解決だそうです。


08. 2012年9月04日 09:07:51 : lqOPOFnyLE
>07
そうですか、まだ未解決なのですね。どうもありがとうございます。
次に、では連続体仮説を肯定(設定)して、その成果としてとりわけ重要な事柄の提起や解決はあったのでしょうか。ご存知でしたら教えてください。

09. 2012年9月04日 12:13:01 : d1INYqu1to

>ご存知でしたら教えてください。

申し訳ないのですが、知りません。


10. 2012年9月04日 12:28:17 : cqRnZH2CUM

>連続体仮説はアルフゼロとCの間の大きさを持つ集合は存在しないと述べている。つまり、この仮説が言っているのは、整数の集合の大きさと実数の集合の大きさの中間の大きさを持つ集合は存在しない

アレフね


まあ、ユークリッドと非ユークリッドみたいに公理性の問題みたいだな

wiki
連続体仮説の公理性 [編集]

現代数学では、標準的な枠組みとして ツェルメロ-フレンケルの公理系 ZF などの公理系を基礎におく理論構築がなされている。ZF に選択公理を加えた公理系は ZFC と呼ばれるのであるが、ZF が無矛盾ならば ZFC も無矛盾であることが知られている(ZF が矛盾を含まないことはほとんど確かだと考えられているが、このことを証明するのは ZF の内部では不可能である)。このような公理的な立場から重要なことは、ZFC と連続体仮説は独立であるということである。つまり ZFC に連続体仮説を付け加えた公理系も無矛盾であり、ZFC に連続体仮説の否定を付け加えた公理系も無矛盾である。連続体仮説は ZFC においては真としても偽としてもよいともいえる。
ゲーデルは、連続体仮説は偽であると強く主張したことで知られている。彼の見方では、連続体仮説の独立性の証明は ZFC に欠点があることを示していることになる。もっとよい公理系を選べば連続体仮説が偽であることが証明できると考えたのである。その立場を強固に推し進めた最後の論文は、学会誌には掲載されずに返還されてしまった。多くの集合論の専門家は、連続体仮説は偽であると考えているか、または真偽に対して中立的な立場を取っている。
ヒュー・ウッディンのように連続体仮説が偽であるとする専門家のうちには、「自然な仮定」を加えて構築される数学モデルでは連続体濃度が に一致するといった形で定式化を試みる動きもある。


11. 2012年9月04日 19:12:49 : 5x4hqoEDAU
有理数の数が整数の数と同じ、尚且つ、無理数の数が実数の数と同じ?。へぇ〜、そうなんだ〜。覚えて置こう。

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